Некоторые спрашивают, зачем нужна математическая строгость в физике. Мол, классики науки прекрасно без нее обходились. Вопрос не бессмысленный, потому что большие продвижения в физике, действительно, делаются без оглядки на строгость. Строгость наводят потом, но пользы от нее, между прочим, целый вагон. А именно, без нее очень легко запутаться и, соответственно, застрять на месте.

Пара примеров. “В физике все функции непрерывные или даже гладкие”. Ну, давайте посмотрим на Второе Начало Термодинамики, а точнее на его интерпретацию в статистической механике: если долго ждать, то изолированная система приходит в равновесное состояние, характеризующееся максимальной энтропией. Тут очевидный парадокс: с одной стороны, говорится, что функция распределения стремится к равновесной при больших временах. С другой стороны, энтропия последней строго больше начальной энтропии. Как же так? Во многих учебниках тут начинают говорить про огрубленное описание и т.д. То есть, говорят, что энтропия по Гиббсу не совсем правильная, а вот если ее заменить на огрубленную… Но если знать немного анализа, то все это делать необязательно. А именно, нет никакого противоречия между утверждением, что последовательность функций распределения сходится в пределе к равновесной функции распределения (в слабой топологии, т.е.  среднее от любой наблюдаемой сходится к равновесному среднему) и несходимостью соответствующей последовательности энтропий к равновесной энтропии. Дело в том, что энтропия - не непрерывная функция на пространстве функций распределений, а полунепрерывная справа. Значит, в пределе энтропия может “скакнуть” вверх, но не вниз. Что мы и наблюдаем (есть очень простые примеры этого, такие как Arnold’s cat map). 

To be continued.